Correction
1. Pour montrer que la suite $\left( u_n \right)_{n \ge 1}$ est une suite de Cauchy de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, il faut montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que, pour tous les entiers $n, m \ge N$, on a :
$$|u_n(x) - u_m(x)| \lt \varepsilon$$
Or, en utilisant la définition de $u_n$ et en simplifiant, on peut écrire :
$$\begin{aligned} |u_n(x) - u_m(x)| = \left| \frac{1}{n!} x^n - \frac{1}{m!} x^m \right| \ = \frac{1}{m!} \left| x^n - \frac{m!}{n!} x^m \right| \ = \frac{1}{m!} \left| x^m \left( x^{n-m} - \frac{m!}{n!} \right) \right| \ &= \frac{1}{m!} |x|^m \left| x^{n-m} - \frac{m!}{n!} \right| \end{aligned}$$
Il suffit maintenant de choisir un entier $N$ tel que $\left| x^{n-m} - \frac{m!}{n!} \right| < \frac{\varepsilon}{|x|^m}$ pour tous les entiers $n, m \ge N$. Comme la suite $\left( \frac{m!}{n!} \right){n \ge m}$ est une suite strictement décroissante de termes strictement positifs, il existe toujours un tel entier $N$. On a donc bien montré que la suite $\left( u_n \right){n \ge 1}$ est une suite de Cauchy de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
2. Pour montrer que la série de fonctions $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ est une série de Cauchy de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, il faut montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que, pour tous les entiers $n, m \ge N$, on a :
$$\left| \sum_{k=1}^n u_k(x) - \sum_{k=1}^m u_k(x) \right| < \varepsilon$$
Or, en utilisant la définition de $u_k$ et en simplifiant, on peut écrire :
$$\begin{aligned} \left| \sum_{k=1}^n u_k(x) - \sum_{k=1}^m u_k(x) \right| = \left| \sum_{k=m+1}^n u_k(x) \right| \ = \left| \sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k!} x^k \right| \ &\le \sum_{k=m+1}^n \left| \frac{1}{k!} x^k \right| \ &= \sum_{k=m+1}^n \frac{|x|^k}{k!} \end{aligned}$$
Il suffit maintenant de choisir un entier $N$ tel que $\sum_{k=m+1}^n \frac{|x|^k}{k!} < \varepsilon$ pour tous les entiers $n, m \ge N$. Comme la suite de fonctions $\left( e^{|x|} \right){n \ge 0}$ est une suite de Cauchy de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, il existe toujours un tel entier $N$. On a donc bien montré que la série de fonctions $\sum{n=1}^{\infty} u_n$ est une série de Cauchy de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.