Correction
1. D'après la formule de déterminant, \(\chi_A = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n (X \delta_{i,\sigma(i)} - a_{i, \sigma(i)})\).
Dans cette somme, chaque terme est un produit d'au plus \(n\) polynômes de degré 1. Donc la somme globale est de degré au plus \(n\).
Pour que \(\deg \left( \prod_{i=1}^n (X \delta_{i, \sigma(i)} - a_{i, \sigma(i)}) \right) = n\), il faut que pour tout \(i \in [1, n]\), \(\sigma(i) = i\), donc \(\sigma = \text{id}\).
Pour \(\sigma = \text{id}\), on obtient le terme : \(X^n - \operatorname{tr}(A)X^{n-1} + R\) avec \(\deg(R) \leq n - 2\).
Lorsque \(\sigma \neq \text{id}\), il existe au moins deux entiers dans \([1, n]\) non fixés par \(\sigma\) et le produit obtenu est de degré au plus \(n - 2\).
Ainsi, \(\chi_A = X^n - \operatorname{tr}(A)X^{n-1} + S\) avec \(\deg(S) \leq n - 2\).
Le terme constant est \((-1)^n \det(A)\) que l'on obtient simplement en remplaçant \(X\) par \(0\) dans \(\det(XI_n - A)\).
2. Soit \( \lambda \in \mathbb{K} \). Alors :
- \(\lambda \in \operatorname{Sp}(u) \) si et seulement si :
- \(\exists x \in E \setminus \{0\} \mid u(x) = \lambda x\)
- \(\Leftrightarrow \exists x \in E \setminus \{0\} \mid (u - \lambda I_E)(x) = 0\)
- \(\Leftrightarrow \operatorname{Ker}(A - \lambda I_n) \neq \{0\}\)
- \(\Leftrightarrow A - \lambda I_n \notin \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})\)
- \(\Leftrightarrow \det(A - \lambda I_n) = 0\)
- \(\Leftrightarrow \chi_A(\lambda) = 0\)