Exercices de Mathématiques Corrigés

Énoncé

Pour tout $x=(a,b)\in\mathbb R^2$, on définit
$N(x)=\sqrt{a^2+2ab+5b^2}. $
Démontrer que $N$ est une norme sur $\mathbb R^2$.

Indication

Correction

On va démontrer que $N$ est la norme issue d'un produit scalaire (remarquons que pour le moment, nous n'avons pas encore prouvé que $N$ est toujours définie). Pour cela, on procède par polarisation, et pour $x=(a,b)$, $x'=(a',b')$, on pose
$$\phi(x,x')=aa'+a'b+ab'+5bb'.$$
$\phi$ est clairement une forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb R^2$, il reste à voir qu'elle est définie et positive. Mais on a
$$\phi(x,x)=a^2+2ab+5b^2=(a+b)^2+4b^2$$
(l'idée est ici de reconnaitre dans $a^2+2ab$ le début du développement d'un carré). On en déduit que l'on a toujours $\phi(x,x)\geq 0$ et de plus, si $\phi(x,x)=0$, alors on a $(a+b)=0$ et $b=0$, ce qui entraîne bien sûr $a=b=0$. Ainsi, $N$ est la norme associée au produit scalaire $\phi$.

Énoncé

Montrer que :
1. $ \forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \sum_{k\geqslant 0}^{}\frac{A^k}{k!} $ converge.
2. Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $, $Sp(exp(A))=exp(Sp(A))$ et $det(exp(A))=exp(tr(A))$.

Indication

Correction

1. Munissons $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ d'une norme sous multiplicative, par exemple la norme 2. En dimension finie nous pouvons imposer une norme cela n'affecte pas les questions de convergences.
La série $ \sum_{k\geqslant 0}^{}\frac{A^k}{k!} $ est absolument convergente car $ \left\| \frac{A^k}{k!} \right\| \leqslant \frac{\left\| A \right\|^k}{k!}$,
or $\sum_{k\geqslant 0}^{}\frac{\left\| A \right\|^k}{k!}$ converge vers $e^{\left\| A \right\|}$, donc $\sum_{k\geqslant 0}^{}\frac{A^k}{k!}$ converge.
2. Soit $P \in GL_n(\mathbb{C})$ tel que $P^{-1}AP=T$ où $T$ est une matrice triangulaire supérieure. Notons $\lambda_1,...,\lambda_n $ les éléments diagonaux de $T$, constituant le spectre de $A$.
Rappelons que pour tout polynôme $Q$, les éléments diagonaux des $Q(T)$ sont les $Q(\lambda_i)$.
Si $Q_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$, alors $Q_n(T)\underset{n\to \infty }{\longrightarrow}exp(T)$ d'après la question 1. Or $Q_n(\lambda_i)\underset{n\to \infty }{\longrightarrow}exp(\lambda_i)$
De plus l'application $M\mapsto P^{-1}MP$ est linéaire en dimension finie donc continue.
Il vient que $ exp(P^{-1}AP)=P^{-1}exp(A)P$.
Ainsi, $P^{-1}exp(A)P$ est triangulaire supérieur d'éléments diagonaux les $exp(\lambda_i)$. D'où le résultat.

Énoncé

Une suite $(u_n)$ de nombre réels est appelée suite de Cauchy si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que,
pour tout $p,q\geq N$, on a
$$|u_p-u_q|<\varepsilon.$$

1. Montrer que toute suite convergente est une suite de Cauchy.
2.On souhaite prouver la réciproque à la question précédente.
Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy.
Montrer que $(u_n)$ est bornée.
On suppose que $(u_n)$ admet une suite extraite convergente. Montrer que $(u_n)$ est convergente.
Conclure.

Indication

Correction

Soit $(u_n)$ une suite convergente de limite $l$. Soit $\varepsilon>0$. Il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$|u_n-l|<\varepsilon.$$
Mais alors, pour tous $p,q\geq n_0$, on obtient $$|u_p-u_q|=|(u_p-l)+(l-u_q)|\leq |u_p-l|+|u_q-l|<2\varepsilon.$$
Ceci prouve que $(u_n)$ est bien une suite de Cauchy.

On applique la définition d'une suite de Cauchy avec $\varepsilon=1$. Alors on sait qu'il existe $N\geq 1$ tel que,
pour tout $p,q\geq N$, on a $|u_p-u_q|\leq 1$. En particulier, fixant $q=N$, on a pour $p\geq N$ $$|u_p|\leq |u_N|+1.$$
Il est alors clair que $|u_n|$ est majoré par $$\max(|u_0|,\dots,|u_{N-1}|,|u_N|+1).$$
Soit $a$ la limite de la suite extraite $(u_{\phi(n)})$. Fixons $\varepsilon>0$. Puisque $(u_n)$ est une suite
de Cauchy, il existe $N\geq 1$ tel que, pour $p,q\geq N$, on a $|u_p-u_q|\leq\varepsilon$. De plus, puisque
$(u_{\phi(n)})$ converge vers $a$, on sait qu'il existe un entier $n$ tel que $\phi(n)\geq N$
et $|u_{\phi(n)}-a|\leq\varepsilon$. Maintenant, si $p\geq\phi(n)$, alors
$$|u_p-a|=|u_p-u_{\phi(n)}+u_{\phi(n)}-a|\leq |u_p-u_{\phi(n)}|+|u_{\phi(n)}-a|\leq2\varepsilon.$$
Ceci prouve que la suite $(u_n)$ converge bien vers $a$.
Il suffit désormais d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass...